Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc - Toán lớp 11


Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Với Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn: f ’(xo) = k (*)

- Giải (*) tìm xo. Suy ra yo = f(xo)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - xo) + yo

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

   + Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k

   + Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 và d2 : y = k2x + b2. Khi đó

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan(∠OAB) = ± OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’(x) = tan(∠OAB)

Hay lắm đó

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có hệ số góc k = -9 ?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = x2 + 6x

Ta có:

k = -9 ⇔ y’(xo) = - 9

⇔ xo2 + 6xo = -9

⇔ (xo + 3)2 = 0

⇔ xo = -3 ⇒ yo = 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11

Bài 2: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = - x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

1. Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:

y’(xo) = -6 ⇔ -4xo3 - 2xo = -6 ⇔ (xo-1)(2xo2+2xo+3) = 0   (*).

Vì 2xo2 + 2xo + 3 > 0 ∀xo ∈ R nên phương trình

(*) ⇔ xo = 1 ⇒ yo = 4 ⇒ M(1;4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10

Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m

(t) tiếp xúc (C) tại điểm M(xo ; yo) khi hệ phương trình sau có nghiệm xo

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có nghiệm xoChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = x2 – 1

Gọi M(xo ; yo) ∈(C) ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tiếp tuyến Δ tại điểm M có hệ số góc: y’(xo) = xo2 - 1

Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy có 2 điểm M(-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm.

Bài 3: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánViết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R\{1}

Ta có Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2 nên ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

   + Với M(0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1

   + Với M(2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 2) + 5 = -3x + 11

Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x = 3(x-1)2 - 3 ≥ -3

Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3

Bài 5: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có đồ thị (H). Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = - x + 2 và tiếp xúc với (H).

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R\{0}

Đạo hàm: y’ = 4/(x2)

Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = -x + 2 nên Δ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tại M(2; 0). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 2) = x – 2

Tại N(-2; 4). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6

Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 + 3x2 – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x – 8

Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1

Ta có phương trình

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tại M(1; -3). Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4

Tại N(-3; 25). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28

Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 có dạng Δ: y = -9x + c

Δ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có nghiệm

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn.

Hay lắm đó

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :

A. 9            B. 1/9            C. -9            D. -1/9

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm: y' = 1/(x-1)2

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A(2/3; 0)

Hệ số góc của tiếp tuyến là y’ (2/3) = 9

Bài 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án tại giao điểm với trục tung bằng:

A. -2            B. 2            C. 1            D. -1

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

Tập xác định: D = R\{-1}

Đạo hàm: y’ = 2/(x+1)2

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo = 0 ⇒ y’(0) = 2

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C) có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song đường thẳng y = 9x + 10

A. 1            B. 3            C. 2            D. 4

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x.     k = 9 ⇒ 3xo2 - 6xo = 9 Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x4 + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = 0 có phương trình là:

A. y = 5x – 3

B. y = 3x – 5

C. y = 2x – 3

D. y = x + 4

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Ta có : y’ = 4x3 + 1

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/5)x nên tiếp tuyến có hệ số góc là 5

Khi đó ta có :

4x3 + 1 = 5 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(1 ; 2) có dạng

y = 5(x – 1) + 2 = 5x – 3

Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4

A. (1 + √3; 5+3√3), (1-√3; 5-3√3)

B. (2; 12)

C. (0; 0)

D. (-2; 0)

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Giả sử a là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ y’(a) = -1

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 6: Biết tiếp tuyến (d) của hàm số y = x3 – 2x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Tập xác định: D = R

y’ = 3x2 – 2

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Δ: x = y

⇒(d) có hệ số góc là – 1

3x2 – 2 = -1 ⇔ x = ± 1/√3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hay lắm đó

Bài 7: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4.

A. k = 1            B. k = 0,5            C. k = √2/2            D. 2

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4 là k = y’( π/4) = 2

Bài 8: Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án tại điểm có hoành độ xo = π là:

A.-√3/12            B. √3/12             C. -1/12            D. 1/12

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 9: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 7x + 5 (C). Tìm trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2?

A. (-1; -9); (3; -1)

B. (1; 7); (3; -1)

C. (1; 7); (-3; -97)

D. (1; 7); (-1; -9)

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y’ = 3x2 – 12x + 7

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2

⇒ y’(xo) = -2 ⇔ 3xo2 - 12xo + 7 = -2 ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 10: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d: 3y – x + 6 = 0 là

A. y = -3x – 3; y = -3x – 11

B. y = -3x – 3; y = -3x + 11

C. y = -3x + 3; y = -3x – 11

D. y = -3x – 3; y = 3x – 11

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

d: 3y – x + 6 = 0 ⇔ y = (1/3)x - 2

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là -3 nên y’(xo) = -3

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với xo = -3/2 ⇒ yo = 3/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 3/2) + 3/2 = -3x-3

Với xo = -5/2 ⇒ yo = (-7)/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 5/2)-7/2 = -3x-11

Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = - 1 vuông góc với đường thẳng d : y = 2x – y – 3 = 0

A. 3/4            B. 1/4            C. 7/16            D. 9/16

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

d : y = 2x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2x – 3, hệ số góc của đường thẳng d là 2

y’ = 4(2m – 1)x3

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = -1 là y’(-1) = -4(2m – 1)

Ta có 2. -4(2m – 1) = -1 ⇔ m = 9/16

Bài 12: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có đồ thị cắt trục tung tại A(0 ; -1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = -3. Các giá trị của a, b là

A. a = 1, b = 1

B. a = 2, b = 1

C. a = 1, b = 2

D. a = 2, b = 2

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

A(0; - 1) ∈(C) nên ta có: -1 = b/(-1) ⇔ b = 1

Ta có Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánHệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là:

k = y’(0) = -a – b = -3 ⇔ a = 3 – b = 2.

Bài 13: Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là

A. M(1; -3), k = -3

B. M(1; 3), k = -3

C. M(1; -3), k = 3

D. M(-1; -3), k = -3

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Gọi M(xo ; yo). Ta có y’ = 3x2 – 6x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là :

k = y’(xo) = 3xo2 - 6xo = 3(xo - 1)2 - 3 ≥ -3

Vậy k bé nhất bằng -3 khi xo = 1, yo = -3

Bài 14: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 6x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1

A. y = 18x + 8 và y = 18x -27

B. y = 18x + 8 và y = 18x - 2

C. y = 18x + 81 và y = 18x - 2

D. y = 18x + 81 và y = 18x - 27

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm

Ta có: y’ = 3x2 + 6x – 6

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1 nên ta có:

y'(xo) = 18 ⇔ 3xo2 + 6xo - 6 = 18 ⇔

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 18x + 81 và y = 18x – 27

Bài 15: Cho hàm số y = x3 - 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

A. y = 9x - 1 hay y = 9x + 17

B. y = 9x - 1 hay y = 9x + 1

C. y = 9x - 13 hay y = 9x + 1

D. y = 9x - 15 hay y = 9x + 17

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Ta có: y’ = 3x2 – 3. Gọi M(xo ; yo) là tiếp điểm

Ta có: y’(xo) = 9 ⇔ 3xo2 - 3 = 9 ⇔ xo = ±2

xo = 2 ⇒ yo = 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x – 2) + 3 = 9x – 15

xo = -2 ⇒ yo = -1. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + 2) – 1 = 9x + 17

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: