Cách xét tính liên tục của hàm số cực hay - Toán lớp 11
Cách xét tính liên tục của hàm số cực hay
Với Cách xét tính liên tục của hàm số cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập xét tính liên tục của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm x0 ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x0 ta làm như sau:
+ Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x0 và tính f(x0)
+ Nếu tồn tại 
thì ta so sánh
với f(x0).
Nếu = f(x0) thì hàm số liên tục tại x0
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.
2.
3. Hàm số 
liên tục tại x = x0 ⇔ = k
4. Hàm số 
liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi 
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3
Hướng dẫn:
1. Hàm số xác định trên R
Ta có f(3) = 10/3 và
Vậy hàm số không liên tục tại x = 3
2. Ta có f(3) = 4 và
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số
1. f(x) = tan2x + cosx
Hướng dẫn:
1. TXĐ: 
Vậy hàm số liên tục trên D
2. Điều kiện xác định:
Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2,+∞)
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
Hướng dẫn:
Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1
Bài 5: Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0
Hướng dẫn:
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có:
Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1
Bài 7: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số 
Kết luận nào sau đây không đúng?
A. Hàm số liên tục tại x =-1
B. Hàm số liên tục tại x = 1
C. Hàm số liên tục tại x = -3
D. Hàm số liên tục tại x = 3
Lời giải:
Đáp án: A
hàm số đã cho không xác định tại x = - 1 nên không liên tục tại điểm đó. Tại các điểm còn lại hàm số đều liên tục. Đáp án A
Bài 2: Cho hàm số 
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -2
B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0,5
D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2
Lời giải:
Đáp án: C
Hàm số đã cho không xác định tại x = 0, x = -2, x = 2 nên không liên tục tại các điểm đó. Hàm số liên tục tại x = 0,5 vì nó thuộc tập xác định của hàm phân thức f(x). Đáp án là C
Bài 3: Cho 
với x ≠ 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?
Lời giải:
Đáp án: C
Vậy hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi
Bài 4: Cho hàm số 
. Hàm số f(x) liên tục tại:
A. Mọi điểm thuộc R
B. Mọi điểm trừ x = 0
C. Mọi điểm trừ x = 1
D. Mọi điểm trừ x = 0 và x = 1
Lời giải:
Đáp án: A
với x < 1, x≠0 thì 
liên tục trên khoảng đó. Do đó f(x) liên tục tại mọi điểm. Đáp án A
Bài 5: Cho 
Phải bổ sung thêm giá trị f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục trên R?
A. 0 B. 1 C. √2 D. 2
Lời giải:
Đáp án: D
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
Bài 6: Cho 
Phải bổ sung thêm giá trị f(0)bằng bao nhiêu thì hàm f(x) liên tục trên R?
A. 5/7 B. 1/7 C. 0 D. -5/7
Lời giải:
Đáp án: A
Bài 7: Cho hàm số 
Kết luận nào sau đây là sai:
A. Hàm số liên tục tại x = -2
B. Hàm số liên tục tại x = 2
C. Hàm số liên tục tại x = -4
D. Hàm số liên tục tại x = 4
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 8: Cho 
Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0?
A. 0 B. 1/2 C. 1/√2 D. 1/(2√2)
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 9: Cho hàm số
A. 11 B. 4 C. -1 D. -13
Lời giải:
Đáp án: C
Bài 10: Cho hàm số 
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -3
B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2
D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 3
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 11: Cho hàm số 
. Kết luận nào sau đây là đúng?
Kết luận nào sau đây không đúng?
A. Hàm số liên tục tại x = -2
B. Hàm số liên tục tại x = 2
C. Hàm số liên tục tại x = -1
D. Hàm số liên tục tại x = 1
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 12: Cho 
. Kết luận nào sau đây là đúng?
Phải bổ sung giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số đã cho liên tục trên R?
A. -4/7 B. 0 C. 1/7 D. 4/7
Lời giải:
Đáp án: D
Bài 13: Cho hàm số 
. Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) liên tục tại x = 2
(II) f(x) gián đoạn tại x = 2
(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2;2]
A. Chỉ (I) và (III) B. Chỉ (I) C. Chỉ (II) D. Chỉ (II) và (III)
Lời giải:
Đáp án: B
TXĐ: D = (-∞, -2] ∪ [2, +∞). Vậy (III) và (II) sai. Đáp án B
Bài 14: Cho hàm số 
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(I) f(x) gián đoạn tại x = 1
(II) f(x) liên tục tại x = 1
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Chỉ (I) và (III) D. Chỉ (II) và (III)
Lời giải:
Đáp án: C
Hàm số không xác định tại x = 1 nên gián đoạn tại điểm đó. Đáp án C
Bài 15: Cho hàm số 
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(II) f(x) liên tục tại x = –2
(III) f(x) gián đoạn tại x = –2
A. Chỉ (I) và (III) B. Chỉ (I) và (II) C. Chỉ (I) D. Chỉ (III)
Lời giải:
Đáp án: B
Vậy hàm số liên tục tại x = -2. Đáp án B
