Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

Giải vở bài tập Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Câu 2 trang 111 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\hat{IAB}$ + $\hat{IBC}$ + $\hat{IAC}$ = 90^o;

b) $\hat{BIC}$ = 90^o + $\frac{1}{2} \hat{BAC}$ .

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh

a) Ta có: $\hat{BAC}$ + $\hat{CBA}$ + $\hat{ACB}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác).

Vì tia AI, BI, CI lần lượt là tia phân giác của các góc $\hat{BAC}$ , $\hat{CBA}$ , $\hat{ACB}$ nên

$\hat{IAB}$ = $\frac{1}{2} \hat{B A C}$ , $\hat{IBC}$ = $\frac{1}{2} \hat{C B A}$ , $\hat{ICA}$ = $\frac{1}{2} \hat{A C B}$ ,

Suy ra $\hat{IAB}$ + $\hat{IBC}$ + $\hat{I A C}$ = $\frac{1}{2} \hat{B A C}$ + $\frac{1}{2} \hat{C B A}$ + $\frac{1}{2} \hat{A C B}$

= $\frac{1}{2}$ ( $\hat{B A C}$ + $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ ) = $\frac{1}{2}$ .180^o = 90^o.

b) Ta có $\hat{BIC}$ + $\hat{IBC}$ + $\hat{I CB}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\hat{BIC}$ + $\frac{1}{2}$ $\hat{C B A}$ + $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ = 180^o

hay $\hat{BIC}$ + $\frac{1}{2}$ ( $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ ) = 180^o.

Vì $\hat{B A C}$ + $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o nên $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o – $\hat{B A C}$

Do đó $\hat{BIC}$ + $\frac{1}{2}$ (180^o – $\hat{B A C}$ ) = 180^o hay $\hat{BIC}$ = 90^o + $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ .