Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh:
Giải vở bài tập Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Câu 4 trang 112 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh:
a) IA, IB, IC lần lượt là tia phân giác của các góc NIP, PIM, MIN.
b) = 180o – ;
c) = = ;
d) = 90o – ;
Lời giải:
a) Xét hai tam giác vuông IAP và IAN, ta có:
IA là cạnh chung;
= (do I nằm trên tia phân giác góc A).
Suy ra ∆IAP = ∆IAM (cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó = (hai góc tương ứng).
Suy ra tia IA là tia phân giác của góc NIP.
Chứng minh tương tự ta cũng có:
IB là tia phân giác của góc PIM, IC là tia phân giác của góc MIN.
b) Xét tam giác vuông AIP, ta có + = 90o
Xét tam giác vuông AIN, ta có + = 90o
Suy ra + + + = 90o + 90o = 180o
( + ) + ( + ) = 180o (1)
Mà và , và là các cặp góc kề nhau nên:
+ = 90o và + = 90o (2)
Từ (1) và (2), suy ra: + = 180o hay + = 180o
Do đó: = 180o – ;
c) Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IP
Suy ra tam giác INP là tam giác cân tại I. Do đó: =
Mà + + = 180o (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra 2 + (180o – ) = 180o hay 2 – = 0o.
Suy ra : = = .
d) Chứng minh tương tự câu c, ta có: = , = .
Suy ra = + = + = ( + ) (3)
Ta có + + = 180o (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra + = 180o –
Từ (3) và (4) suy ra = (180o – ) = 90o – .