X

VBT Toán 7 Cánh diều

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu


Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh:

Giải vở bài tập Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Câu 4 trang 112 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh:

a) IA, IB, IC lần lượt là tia phân giác của các góc NIP, PIM, MIN.

b) NIP^ = 180oBAC^;

c) INP^ = IPN^ = 12BAC^;

d) MNP^ = 90o12 BAC^;

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu

a) Xét hai tam giác vuông IAP và IAN, ta có:

IA là cạnh chung;

IAP^ = IAN^ (do I nằm trên tia phân giác góc A).

Suy ra ∆IAP = ∆IAM (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó AIP^ = AIN^ (hai góc tương ứng).

Suy ra tia IA là tia phân giác của góc NIP.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

IB là tia phân giác của góc PIM, IC là tia phân giác của góc MIN.

b) Xét tam giác vuông AIP, ta có AIP^ + IAP^ = 90o

Xét tam giác vuông AIN, ta có AIN^ + IAN^ = 90o

Suy ra AIP^ + IAP^ + AIN^ + IAN^ = 90o + 90o = 180o

(AIP^ + AIN^) + ( IAP^ + IAN^ ) = 180o (1)

AIP^AIN^, IAP^IAN^ là các cặp góc kề nhau nên:

AIP^ + AIN^ = 90oIAP^ + IAN^ = 90o (2)

Từ (1) và (2), suy ra: NIP^ + NAP^ = 180o hay NIP^ + BAC^ = 180o

Do đó: NIP^ = 180oBAC^;

c) Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IP

Suy ra tam giác INP là tam giác cân tại I. Do đó: INP^ = IPN^

INP^ + IPN^ + NIP^ = 180o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra 2INP^ + (180oBAC^) = 180o hay 2INP^BAC^ = 0o.

Suy ra : INP^ = IPN^ = 12BAC^.

d) Chứng minh tương tự câu c, ta có: IMP^ = 12ABC^, IMN^ = 12ACB^.

Suy ra NMP^ = IMP^ + IMN^ = 12ABC^ + 12ACB^ = 12( ABC^ + ACB^ ) (3)

Ta có BAC^ + ABC^ + ACB^ = 180o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra ABC^ + ACB^ = 180oBAC^

Từ (3) và (4) suy ra NMP^ = 12(180oBAC^) = 90o12BAC^.

Xem thêm các bài giải Vở bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: