Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn cực hay | Toán lớp 9

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn cực hay

Với Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

B₁: Nếu phương trình chưa ở dạng ax² + bx + c = 0 thì biến đổi đưa phương trình về đúng dạng này

B₂: Nếu hệ số a chứa tham số ta xét 2 trường hợp

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận phương trình bx + c = 0

- Trường hợp 2: a ≠ 0, ta lập biểu thức ∆ = b² – 4ac. Khi đó:

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

B₃: Kết luận

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x² – 3x + m = 0

Giải

Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có hệ số a = 1

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-3)² – 4.1.m = 9 – 4m

+ Nếu ∆ < 0 ⇔ 9 - 4m < 0 ⇔ 4m > 9 ⇔ m > 9/4 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 ⇔ 9 - 4m = 0 ⇔ 4m = 9 ⇔ m = 9/4 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ > 0 ⇔ 9 - 4m > 0 ⇔ 4m < 9 ⇔ m < 9/4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận :

- Nếu thì phương trình vô nghiệm

- Nếu thì phương trình có nghiệm kép

- Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình mx² – x + 2 = 0(1)

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành

-x + 2 = 0 ⇔ x = 2

Trường hợp 2: nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có:

∆ = b² – 4ac = (-1)² – 4.2.m = 1 – 8m

+ Nếu ∆ < 0 ⇔ 1 - 8m < 0 ⇔ 8m > 1 ⇔ m > 1/8 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 ⇔ 1 - 8m = 0 ⇔ 8m = 1 ⇔ m = 1/8 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ > 0 ⇔ 1 - 8m > 0 ⇔ 8m < 1 ⇔ m < 1/8 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận:

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình mx² – 2x + m = x² – 2mx

Giải

Phương trình đã cho ⇔ mx² - 2x + m - x² + 2mx = 0

⇔ (m - 1)x² + 2(m - 1)x + m = 0 (1)

Trường hợp 1: m = 1 thì phương trình (1) trở thành: 1 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Trường hợp 2: m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = (m-1)² – (m-1).(m) = m² – 2m + 1 - m² + m = 1 - m

+ Nếu ∆ꞌ < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1 (loại vì m ≠ 1)

+ Nếu ∆ꞌ > 0 ⇔ 1 - m > 0 ⇔ m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận : - Nếu m ≥ 1 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu m < 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

B. Bài tập

Câu 1: Tìm m để phương trình x² – 2(m - 1)x – m = 0(1) có hai nghiệm phân biệt

A. m > 1

B. m = 2

C. m < 2

D. ∀ m ∈ R

Giải

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có

Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Vậy đáp án đúng là D

Câu 2: Tìm m để phương trình (m + 2)x² – (2m + 3)x + m = 0(1) có nghiệm

Giải

Trường hợp 1: nếu m = -2 thì phương trình (1) trở thành

x - 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ m = -2 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu m ≠ -2 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ = b² – 4ac = (2m + 3)² – 4m(m + 2) = 4m + 9

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ 4m + 9 ≥ 0 ⇔ m ≥

Kết hợp 2 trường hợp ta có với m ≥ thì phương trình (1) có nghiệm

Vậy đáp án đúng là B

Câu 3: Tìm a để phương trình (a – 3)x² – 2(a - 1)x + a - 5 = 0(1) có một nghiệm

Giải

Trường hợp 1: nếu a = 3 thì phương trình (1) trở thành

-4x - 2 = 0 ⇔ x = ⇒ a = 3 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu a ≠ 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = (a - 1)² – (a - 3)(a - 5) = a² - 2a + 1 – a² + 8a – 15 = 6a – 14

Suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm khi 6a – 14 = 0

Vậy với a = 3 hoặc thì phương trình có 1 nghiệm

Vậy đáp án đúng là A

Câu 4: Tìm m để phương trình x² – mx - x + m = mx – 3m (1) có nghiệm kép

A. m = 1

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 4

Giải

Phương trình (1) ⇔ x² - mx - x + m - mx + 3m = 0

⇔ x² - 2(m + 1) + 4m = 0

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = (m+1)² - 4m.1

= m² + 2m + 1 - 4m

= m² – 2m + 1 =

Suy ra phương trình (1) có nghiệm kép khi ∆ꞌ = 0 ⇔ (m - 1)² = 0 ⇔ m = 1

Vậy đáp án đúng là A

Câu 5: Tìm m để phương trình (m – 1)x² – 2mx + m + 1 = 0 (1) vô nghiệm

A. m > -3

B. m = -2

C. m < 7

D. Không có giá trị nào của m

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành

⇔ -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇔ m = 1 (không thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = m² – (m – 1)(m + 1) = m² – m² + 1 = 1 > 0 ∀ m ≠ 1

Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m, nghĩa là không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm

Vậy đáp án đúng là D

Câu 6: Tìm m để phương trình mx² + 2mx + m - 4 = 0 (1) có ít nhất một nghiệm

A. m > 0

B. m < 0

C. m < 1

D. m > 1

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành

-4 = 0 (phương trình vô nghiệm)

⇒ m = 0 (không thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = m² –m(m – 4) = m² – m² + 4m = 4m

Để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thì ∆ꞌ ≥ 0 ⇔ 4m ≥ 0 ⇔ m ≥ 0

Vì đang xét m ≠ 0 nên m > 0

Vậy với m > 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Vậy đáp án đúng là A

Câu 7: Tìm m để phương trình (m - 1)x² + 2(m - 1)x - m = 0 (1) có nghiệm kép

Giải

Phương trình (1) có nghiệm kép

Với m = 1, không thỏa mãn m ≠ 1 nên loại

Với , thỏa mãn m ≠ 1nên nhận

Vậy với thì phương trình có nghiệm kép.

Đáp án đúng là C

Câu 8: Tìm m để phương trình (2m-1)x² - 2(m + 4)x +5m + 2 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1) có nghiệm 2 nghiệm phân biệt

Vậy với -1 < m < 2 và thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án là A

Câu 9: Tìm m để phương trình x² – 2mx – m² – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt

A. m > 0

B. Mọi giá trị của m

C. m < 7

D. Không có giá trị nào của m

Giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0

⇔ m² - 1.(-m² - 1) > 0

⇔ 2m² + 1 > 0 luôn đúng với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Đáp án B

Câu 10: Tìm a và b để phương trình ax² + (ab + 1)x + b = 0 (1) vô nghiệm

A. a = 2, b = -4

B. a = 1, b ∈ R

C. a > 0, b < 1

D. Không có giá trị nào của a và b

Giải

Nếu a = 0 thì phương trình (1) có dạng x + b = 0 ⇔ x = -b

⇒ với a = 0 và b ∈ R thì (1) luôn có một nghiệm (loại)

Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có

phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a, b (loại)

Vậy không có giá trị nào của a và b để phương trình (1) vô nghiệm

Đáp án D