Tìm m để phương trình trùng phương vô nghiệm, có 1, 2, 3, 4 nghiệm | Toán lớp 9

Tìm m để phương trình trùng phương vô nghiệm, có 1, 2, 3, 4 nghiệm

Với Tìm m để phương trình trùng phương vô nghiệm, có 1, 2, 3, 4 nghiệm Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm m để phương trình trùng phương vô nghiệm, có 1, 2, 3, 4 nghiệm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

Cho phương trình ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: at² + bt + c = 0 (2)

+ Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

+ Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

+ Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 1: Cho phương trình x⁴ – 2(m + 4)x² + m² = 0 (1). Tìm m để phương trình (1)

a. Có nghiệm

b. Có 1 nghiệm

c. Có 2 nghiệm phân biệt

d. Có 3 nghiệm phân biệt

e. Có 4 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt t = x², khi đó phương trình (1) trở thành: t² – 2(m + 4)t + m² = 0 (2)

a. Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: Phương trình (2) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0

+ Xét TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm

Vậy với m < -2 thì phương trình (1) vô nghiệm

b. Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được:

m² = 0 ⇔ m = 0

Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 0 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 1 nghiệm

c. Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Xét TH1: phương trình (2) có nghiệm kép dương

∆ꞌ = 8m + 16 = 0 ⇔ m = -2

Với m = -2 thì phương trình (2) có nghiệm kép

Suy ra m = -2 thỏa mãn

+ Xét TH2: phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0

⇔ m² < 0 (bất phương trình vô nghiệm )

Vậy với m = -2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

d. Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

theo kết quả câu (b) ta có với m = 0 thì phương trình (2) có 2 nghiệm: t = 0, t = 8

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

e. Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy với m > -2 và m ≠ 0 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (m – 1)x⁴ + 2(m – 3)x² + m + 3 = 0 (1) vô nghiệm

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: (m – 1)t² + 2(m – 3)t + m + 3 = 0 (2)

Nếu m = 1 thì phương trình (2) có dạng: -4t + 4 = 0 ⇔ t = 1

Với t = 1 ⇒ x²=1 ⇔ x=±1

Suy ra m = 1 không thỏa mãn

Nếu m ≠ 1 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai

Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: phương trình (2) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0

+ Xét TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm

Kết hợp điều kiện m ≠ 1 ta có với m < -3 hoặc m > 3/2 thì phương trình (1) vô nghiệm

B. Bài tập

Câu 1: Số giá trị của m để phương trình mx⁴ + 5x² – 1 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt là

A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: mt² + 5t - 1 = 0 (2)

Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Xét TH1: phương trình (2) có nghiệm kép dương

Với thì phương trình (2) có nghiệm kép:

Suy ra thỏa mãn

+ Xét TH2: phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0

⇔ -m < 0 ⇔ m > 0

Kết hợp điều kiện m ≠ 0 ta có với m = 0, , m > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình x⁴ – (3m + 4)x² + 12m = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt là

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: t² – (3m + 4)t + 12m = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy với m > 0 và m ≠ 4/3 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 3: Số giá trị của m để phương trình x⁴ – (m + 2)x² + m = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt là

A. 1

B. 3

C. 5

D. vô số

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: t² – (m + 2)t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được: m = 0

Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là A

Câu 4: Tìm m để phương trình x⁴ + (1 – 2m)x² + m² - 1 = 0 (1) vô nghiệm

A. không tồn tại m

B. m < -1 hoặc m > 5/4

C. m > -1 hoặc m < -3

D. m > 2 hoặc m < -1

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: t² + (1 – 2m)t + m² -1 = 0 (2)

Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: Phương trình (2) vô nghiệm ⇔ Δ < 0

+ Xét TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm

Vậy với m < -1 hoặc m > 5/4 thì phương trình (1) vô nghiệm

Đáp án là B

Câu 5: Số giá trị của m để phương trình mx⁴ – 2(m – 1)x² + m – 1 = 0 (1) có 1 nghiệm là

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: mt² – 2(m – 1)t + m - 1 = 0 (2)

Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng: 2t - 1 = 0 ⇔ t = 1/2

Suy ra m = 0 không thỏa mãn đề bài

Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai

Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được:

m - 1 = 0 ⇔ m = 1

Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng: t² = 0 ⇔ t = 0 ⇒ x² = 0 ⇔ x = 0

Suy ra m = 1 thỏa mãn đề bài

Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm

Đáp án là B

Câu 6: Tìm m để phương trình (m + 2)x⁴ + 3x² - 1 = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: (m + 2)t² + 3t -1 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) là phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Đáp án là C

Câu 7: Tìm m để phương trình (m - 2)x⁴ – 2(m + 1)x² + m - 1 = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt

A. m = 1

B. m = -1

C. m = 0

D. không tồn tại m

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: (m - 2)t² – 2(m + 1)t + m -1 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải là phương trình bậc hai có 2 nghiệm ,trong đó một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được:

m - 1 = 0 ⇔ m = 1

Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 1 không thỏa mãn đề bài

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 3 nghiệm

Đáp án là D