Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10

---

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 2. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$

b) $1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+n(3n+1)=n{(n+1)}^2$

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1³ = $\frac{1^2{(1+1)}^2}{4}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3+{(k+1)}^3=\frac{(k+1)2\left[(k+1)+1\right]2}{4}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3+{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4} +{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}+\frac{4{(k+1)}^3}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2[k^2+4(k+1)]}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2(k^2+4k+4)}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2{(k+2)}^2}{4}=\frac{{(k+1)}^2{[(k+1)+1]}^2}{4}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)². Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)=k{(k+1)}^2.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1){[(k+1)+1]}^2.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=k{(k+1)}^2+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]$

$=(k+1)(k^2+4k+4)$

$=(k+1){(k+2)}^2=(k+1){[(k+1)+1]}^2.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.