Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 2. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*:

a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4

b) 7ⁿ – 4ⁿ – 3ⁿ chia hết cho 12.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 3¹ – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3^k – 1 – 2k ⁝ 4.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3^k – 1 –2k – 2 = 3 . 3^k – 3 –2k = 3 . 3^k – 3 –6k + 4k

= 3(3^k – 1 – 2k) + 4k

Vì (3^k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3^k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 7¹ – 4¹ – 3¹ = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7^k – 4^k – 3^k ⁝ 12.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} ⁝ 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} = 7 . 7^k – 4 . 4^k – 3 . 3^k = 7 . 7^k – 7 . 4^k – 7 . 3^k + 3 . 4^k + 4 . 3^k

= 7(7^k – 4^k – 3^k) + 3 . 4^k + 4 . 3^k = 7(7^k – 4^k – 3^k) + 12 . 4^{k – 1} + 12 . 3^{k – 1} (vì k ≥ 1).

Vì 7(7^k – 4^k – 3^k), 12 . 4^{k – 1} và 12 . 3^{k – 1} đều chia hết cho 12 nên 7(7^k – 4^k – 3^k) + 12 . 4^{k – 1} + 12 . 3^{k – 1} ⁝ 12 hay 7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} ⁝ 12.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.