Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 2. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{\dots }+2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n=3^n;$

b) $2n^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}.$

Lời giải:

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{\dots }+2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n$

$=C_n^{0}1+C_n^{1}2+C_n^2{2}^2+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}{2}^{n-1}+C_n^n{2}^n$

$=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}2+C_n^2{1}^{n-2}{2}^2+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}{\mathrm{1\hspace{0.17em}.2}}^{n-1}+C_n^n{2}^n$

= (1 + 2)ⁿ = 3ⁿ.

b) Ta có:

${(x+1)}^{2n}=C_{2n}^0{x}^{2n}+2n^1{x}^{2n-1}1+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}+C_{2n}^2{x}^{2n-2}+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}x+C_{2n}^{2n}.$

Cho x = –1, ta được:

${(-1+1)}^{2n}=C_{2n}^0{(-1)}^{2n}+{\mathrm{C}}_{2n}^1{(-1)}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^2{(-1)}^{2n-2}+\mathrm{\dots }+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}(-1)+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}$

$={\mathrm{C}}_{2n}^0-{\mathrm{C}}_{2n}^1+{\mathrm{C}}_{2n}^2-\mathrm{\dots }-{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}$

$\Rightarrow {\mathrm{C}}_{2n}^0-{\mathrm{C}}_{2n}^1+{\mathrm{C}}_{2n}^2-\mathrm{\dots }-{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}=0$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}.$