Bài 4 trang 65 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 4 trang 65 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 3. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 4 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) e = $\frac{1}{2}$;

b) e = 1;

c) e = 2.

Lời giải:

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\mathrm{\Delta })}=e$

$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=\frac{1}{2}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{8}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{8}$

$\iff 8(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff 7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\mathrm{\Delta })}=e$

$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=1$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{2}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{2}$

$\iff 2(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\mathrm{\Delta })}=e$

$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=2$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=2.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\sqrt{2}.|x+y-1|$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=2{|x+y-1|}^2$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=2(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y)$

$\iff x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$