Bài 6 trang 65, 66 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 6 trang 65, 66 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 3. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 6 trang 65, 66 Chuyên đề Toán 10: Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai). Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm F₁ của hypebol (H) khi gặp một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua F₂. Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol (P) và hình một nhánh của hypebol (H). Parabol (P) có tiêu điểm F₁ và đỉnh S. Hypebol (H) có đỉnh A, có chung một tiêu điểm là F₁ với (P) và còn có tiêu điểm thứ hai F₂ (Hình 3).

Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol (P), khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xạ theo hướng MF₁, tia này gặp (H) tại điểm N và cho tia phản xạ tới F₂ là nơi thu tín hiệu. Cho biết SF₁ = 14 m, SF₂ = 2 m và AF₁ = 1 m. Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H).

(Nguồn: https://sciencestruck.com/parabolic – mirror – working – principle – applications)

Lời giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H) nên 2c = F₁F₂ = SF₁ – SF₂ = 14 – 2 = 12, suy ra c = 6.

AF₂ = F₁F₂ – AF₁ = 12 – 1 = 11.

Vì A thuộc (H) nên 2a = |AF₁ – AF₂| = |1 – 11| = 10, suy ra a = 5,

$\Rightarrow b^2=c^2-a^2=6^2-5^2=11.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{11}=1.$

+) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

S là đỉnh và F₁ là tiêu điểm của parabol nên $\frac{p}{2}$ = SF₁ = 14, suy ra p = 28.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 56x.