Bài 10 trang 72 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cô An thiết kế một đề thi trắc nghiệm gồm m câu hỏi, mỗi câu hỏi có k lựa chọn. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm. Cô An muốn thiết kế sao cho nếu một học sinh lựa chọn phương án trả lời cho mỗi câu hỏi một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau thì điểm số trung bình của học sinh đó sẽ là 10 với độ lệch chuẩn ít nhất là Cô An cũng muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể. Vậy cô An nên thiết kế đề với m và k bằng bao nhiêu?

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Chân trời sáng tạo

Bài 10 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Cô An thiết kế một đề thi trắc nghiệm gồm m câu hỏi, mỗi câu hỏi có k lựa chọn. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm. Cô An muốn thiết kế sao cho nếu một học sinh lựa chọn phương án trả lời cho mỗi câu hỏi một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau thì điểm số trung bình của học sinh đó sẽ là 10 với độ lệch chuẩn ít nhất là $2\sqrt{2}.$ Cô An cũng muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể. Vậy cô An nên thiết kế đề với m và k bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một câu hỏi”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại m lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Trả lời đúng câu hỏi đó”. Ta có $P\left(A\right)=\frac{1}{k}.$

Gọi X là số câu trả lời đúng trong tổng số m câu hỏi.

Do phép thử T được thực hiện m lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng $\frac{1}{k}$ nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B\left(m;\frac{1}{k}\right).$

Kì vọng của X là: $E\left(X\right)=m\cdot \frac{1}{k}.$

Phương sai của X là: $V\left(X\right)=m\cdot \frac{1}{k}\cdot \left(1-\frac{1}{k}\right).$

Theo bài, ta có: $m\cdot \frac{1}{k}=10$ và $m\cdot \frac{1}{k}\cdot \left(1-\frac{1}{k}\right)\ge {\left(2\sqrt{2}\right)}^2$

Suy ra $1-\frac{1}{k}\ge 0,8\iff \frac{1}{k}\le 0,2\iff k\ge 5.$

Mà cô An muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể nên ta lấy k = 5.

Khi đó, $m=10:\frac{1}{k}=10:\frac{1}{5}=50.$

Vậy m = 50 và k = 5.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau: a) Xác suất của biến cố “X lớn hay bằng 2” là....

• Bài 2 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức B(5; 0,2).a) Xác suất của biến cố “X bằng 2” là...

• Bài 3 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Kết quả khảo sát chiều cao (đơn vị: cm, làm tròn đến hàng đơn vị) của 50 cây gỗ Trầm Hương giống được thống kê lại ở bảng tần số sau:....

• Bài 4 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Đầu năm cô Hà vay ngân hàng 2 triệu đồng mua cổ phiếu mã DEF với giá 20 000 đồng một cổ phiếu....

• Bài 5 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Một hộp chứa 5 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 5. Thẻ số 5 có thể đổi được 10 điểm còn mỗi thẻ ghi số chẵn có thể đổi được 5 điểm...

• Bài 6 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Trong hộp có 10 quả trứng cùng loại, trong đó có 8 quả trứng bình thường và 2 quả trứng đặc biệt có 2 lòng đỏ....

• Bài 7 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Tỉ lệ người cao tuổi trong một cộng đồng dân cư là 23%. Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 5 người trong cộng đồng dân cư...

• Bài 8 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Bác Minh thực hiện 10 lần ghép cành một cách độc lập với nhau. Biết rằng xác suất thành công của mỗi lần ghép là 0,75....

• Bài 9 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Ở một khu vực, tất cả trẻ sơ sinh đều đã được tiêm từ 1 đến 4 liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi.....