Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 12

❮ Bài trước Bài sau ❯

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

E(v) = cv³t,

trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020).

Lời giải:

Vận tốc của con cá hồi khi bơi ngược dòng là: v – 6 (km/h).

Thời gian để con cá hồi đó khi bơi ngược dòng 300 km là: $\frac{300}{v - 6}$ (giờ).

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt quãng đường 300 km là:

$E (v) = c v^{3} \cdot \frac{300}{v - 6} = 300 c \cdot \frac{v^{3}}{v - 6}$ (jun).

Xét hàm số $E (v) = 300 c \cdot \frac{v^{3}}{v - 6}, v > 6.$

Ta có $E^{'} (v) = 300 c \cdot \frac{3 v^{2} (v - 6) - v^{3}}{{(v - 6)}^{2}} = 300 c \cdot \frac{2 v^{3} - 18 v^{2}}{{(v - 6)}^{2}} = 300 c \cdot \frac{2 v^{2} (v - 9)}{{(v - 6)}^{2}} .$

Do đó E’(v) = 0 ⇔ v = 0 (không thỏa mãn) hoặc v = 9 (thỏa mãn do v > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 12

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\min_{(6; + \infty)} E (v) = E (9) = 72 900$ tại v = 9.

Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất là 9 km/h.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯