Bài 6 trang 36 Chuyên đề Toán 12

Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm cho thị trường Mỹ. Biết rằng:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 6 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm cho thị trường Mỹ. Biết rằng:

– Chi phí cho các công việc hành chính chung của nhà máy là 90 đô la Mỹ (USD)/1 ngày.

– Chi phí sản xuất là 0,09 USD/1 sản phẩm.

– Các loại chi phí khác trong mỗi một ngày là $\frac{x^{2}}{10 000}$ (USD), trong đó x là số sản phẩm nhà máy sản xuất được trong ngày hôm đó.

a) Tính tổng chi phí U(x) của mỗi một sản phẩm.

b) Tìm x sao cho U(x) nhận giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Chi phí cho các công việc hành chính chung trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là: $\frac{90}{x}$ (USD).

Các loại chi phí khác trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là: $\frac{x}{10 000}$ (USD).

Tổng chi phí cho mỗi một sản phẩm là: $U (x) = \frac{90}{x} + 0, 09 + \frac{x}{10 000}$ (USD).

b) Xét hàm số $U (x) = \frac{90}{x} + 0, 09 + \frac{x}{10 000}$ trên [1; +∞).

Ta có: $U^{'} (x) = - \frac{90}{x^{2}} + \frac{1}{10 000} .$

Do đó $U^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{90}{x^{2}} + \frac{1}{10 000} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 900 000 \Leftrightarrow x \approx 948, 7$ (do x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Bài 6 trang 36 Chuyên đề Toán 12

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\min_{[1; + \infty)} U (x) \approx 0, 280$ tại x ≈ 948,7.

Ta có U(948) ≈ 0,2797367089 và U(949) ≈ 0,2797366702 nên U(948) > U(947).

Vậy x = 947 thì U(x) nhận giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯