Chứng minh rằng với n ∈ N* ta có n^3 + 3n^2 + 5n chia hết cho 3

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2 trang 82 Toán 11: Chứng minh rằng với n ∈ N* ta có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6

Trả lời

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n . Với n – 1 thì S₁ = 9 ⋮ 3.

Giả sử với k ≥ 1 đã có S_k = k³ + 3k² + 5k ⋮ 3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1 ⋮ 3.

Thật vậy: S_k+1 = (k + 1)₃ + 3(k + 1)₂ + 5(k + 1)

= k₃ + 3k₂ + 3k + 1 + 3k₂ + 6k + 3 + 5k + 5

= k₃ + 3k₂ + 5k + 3k₂ + 9k + 9

hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3).

Theo giả thuyết quy nạp thì S_k ⋮ 3, ngoài ra 3(k² + 3k + 3) ⋮ 3 nên S_k+1 ⋮ 3.

Vậy Sn ⋮ với mọi n ∈ N*.

b) Đặt Sn = 4ⁿ + 15k – 1. Với n = 1, ta có S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 ⋮ 9.

Giả sử với k ≥ 1 thì S_k = 4^k + 15k – 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1 ⋮ 9.

Thật vậy, ta có:

S_k+1 = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1 = 4(4^k + 15 – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2) do đó

S_k+1 ⋮ 9. Vậy Sn ⋮ 9 với mọi n ∈ N*.

c) Đặt A_n = n³ + 11n. Với n = 1, ta có A₁ = 1³ + 11 = 12 ⋮ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 đã có: A_k = k³ + 11k ⋮ 6

Ta phải chứng minh A_k+1 ⋮ 6.

Thật vậy, ta có:

A_k+1 = (k + 1)³ + 11(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = A_k + 3(k² + k + 4).

Vì A_k ⋮ 6 và k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên A_k+1 ⋮ 6

Vậy An = n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*.