Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức sau

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3 trang 82 Toán 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức sau:

a) 3ⁿ > 3n + 1                    b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3.

Trả lời

a) Khi n = 2 bất đẳng thức đã cho đúng.

Giả sử bất đẳng thức luôn đúng đến n = k ≥ 2, tức là 3^k > 3k + 1        (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức luôn đúng đến n = k + 1, tức là:

3^k+1 > 3k + 4

Thật vậy, ta có:

3^k+1 = 3.3^k > 3(3k + 1) = 9k + 3 = (3k + 4) + (6k – 1) > 3k + 4 (do (1))

Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm)

b) Khi n = 2 bất đẳng thức đã cho đúng.

Giả sử bất đẳng thức luôn đúng đến n = k ≥ 2, tức là 2^k+1 > 2k + 3      (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức luôn đúng đến n = k + 1, tức là:

2^k+2 > 2k + 5

Thật vậy, ta có:

2^k+2 = 2.2^k+1 > 2(2k + 3) = 4k + 6 = (2k + 5) + (2k + 1) > 2k + 5 (do (1))

Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm) .