Bài 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 trang 39 SBT Toán 7 tập 2

Bài 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 trang 39 SBT Toán 7 tập 2

Bài 2.1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(B) Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(D) Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng.

Lời giải:

Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc với một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước. Bởi vì, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(A) Đúng

(B) Sai

(C) Sai

(D) Đúng

Trong hình AH là đường vuông góc duy nhất và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d (có thể kẻ được vô số đường xiên như thế)

Bài 2.2: Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(A) AB < AC

(B) AB = AC

(C) AB < AC

(D) AH < AB

Lời giải:

Theo định lý so sánh giữa hình chiếu và hình xiên ta có:

HB < HC ⇒ AB < AC. Chọn (C)

Bài 2.3: a) Hai tam giác ABC, A'B'C' vuông tại A và A' có AB = A'B', AC > A'C'. Không sử dụng định lý Pitago, chứng minh rằng BC > B'C'.

b) Hai tam giác ABC, A'B'C' vuông tại A và A' có AB = A'B', BC > B'C'.

sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng AC > A'C'

Lời giải:

a) Do AC > A'C' nên lấy được điểm C₁ trên cạnh AC sao cho AC₁ = A′C′. Ta có tam giác vuông ABC₁ bằng tam giác vuông A'B'C', suy ra B′C′ = BC₁. Mặt khác hai đường xiên BC và BC₁ kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AC₁. Vì AC > AC₁ nên BC > BC₁. Suy ra BC > B'C'.

b) Dùng phản chứng:

- Giả sử AC < A'C'. Khi đó theo chứng minh câu a) ta có BC < B'C'. Điều này không đúng với giả thiết BC > B'C'.

Giả sử AC = A'C'. Khi đó ta có ΔABC = ΔA'B'C' (c.g.c). Suy ra BC = B'C'.

Điều này cũng không đúng với giả thiết BC > B'C'. Vậy ta phải có AC > A'C'.

(Nếu sử dụng định lý Pytago thì có thể giải bài toán sau)

Trong tam giác vuông ABC có BC² = AB² + AC²    (1)

Trong tam giác vuông A'B'C' có B'C'² = A'B'² + A'C'²    (2)

Theo giả thiết AB = A'B' nên từ (1) và (2) ta có:

- Nếu AC > A'C' thì AC² > A'C'², suy ra BC² > B'C'² hay BC > B'C'

- Nếu BC > B'C' thì BC² > B'C'², suy ra AC² > A'C'² hay AC > A'C'.

Bài 2.4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BD là đường phân giác của góc B (D ∈ AC). Chứng minh rằng BD > BC.

Lời giải:

Do BD là tia phân giác của góc ABC nên tia BD ở giữa hai tia BA và BC, suy ra D ở giữa A và C, hay AD < AC. Hai đường xiên BC, BD lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AD. Hơn nữa AD > AC, suy ra BD < BC. (Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được đoạn thẳng nối B với trung điểm của đoạn thẳng AC nhỏ hơn BC)