Bài 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 trang 44 SBT Toán 7 tập 2

Bài 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 trang 44 SBT Toán 7 tập 2

Bài 4.3: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC. Các đoạn thẳng CE và CF lần lượt cắt đoạn thẳng AB tại I, J. Chứng minh rằng: AI = IJ = JB

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Xét hai tam giác ACD và BCD. Từ giả thiết suy ra I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD.

Do đó: OI = 1/3 AO, AI = 2/3AO, OJ = 1/3 BO, BJ = 2/3 BO

Theo giả thiết AO = BO nên

IJ = OI + OJ = 1/2 AO = AI = BJ.

Bài 4.4: Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến AA₁và BB₁ cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO bằng 5cm².

Lời giải:

Ta có:

S_AOB = 2/3 S_AA1B (Vì AO = 2/3 AA₁);

S_ABA1 = 1/2 S_ABC (Vì BA₁ = 1/2 BC) ;

Từ đó suy ra S_ABC = 2S_ABA1 = 3S_AOB

Nếu S_AOB = 5cm² thì S_ABC = 3.5 = 15(cm²)

Bài 4.5: Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà diện tích của chúng (đôi một) bằng nhau.

Lời giải:

Xét sáu tam giác được đánh số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài 4.4 ta có

S_GAB = S_GBC = S_GCA = 1/3 S_ABC

Ta lại có S₁ = S₂, S₃ = S₄, S₅ = S₆ (vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau, vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau)

Bài 4.6: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM.

a) Tìm trọng tâm của tam giác AEM.

b) So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM

c) So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM.

Lời giải:

a) Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do

CD = 1/2 CB = 1/2 CM

Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.

b) Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ΔADB = ΔEDG (c.g.c) nên AB = EC

Vậy: AC = 2/3 AF; BC = CM = 2/2 MD; AB = EC = 2/3 EI

c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD = 1/2 AE

Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ΔABC.

ΔBCP = ΔMCF ⇒ BP = FM = 1/2 EM. Ta sẽ chứng minh CQ = 1/2 AM

Ta có:

ΔABD = ΔECD⇒ ∠(BAD) = ∠(CED)

⇒ AB//EC ⇒ ∠(QAC) = ∠(ICA)

Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, ∠(QAC) = ∠(ICA) ;

AQ = 1/2 AB = 1/2 EC = IC nên chúng bằng nhau.

Vậy CQ = AI = 1/2 AM.

Tóm lại: AD = 1/2 AE, BP = 1/2 EM, CQ = 1/2 AM.