Bài 36, 37, 38, 39 trang 43 SBT Toán 7 tập 2

Bài 36, 37, 38, 39 trang 43 SBT Toán 7 tập 2

Bài 36: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1/2 BC. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng DK = KC.

Lời giải:

Trong ΔACD ta có:

CB là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C

Mặt khác:

E ∈ BC và BE = 1/2 BC (gt)

Nên: CE = 2/3 CB

Suy ra: E là trọng tâm của ΔACD.

Vì AK đi qua E nên AK là đường trung tuyến của ΔACD

Suy ra K là trung điểm của CD

Vậy KD = KC.

Bài 37: Theo kết quả của bài 64 chương II, sách Bài tập toán 7 tập một ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:

a. IK // DE, IK = DE

b. AG = 2/3 AD

Lời giải:

a. Áp dụng kết quả bài 64 chương II sách Bài tập toán 7 vào ΔABC và ΔAGB ta có:

DE // AB và DE = 1/2 AB    (1)

IK // AB và IK = 1/2 AB    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

DE // IK và DE = IK.

b. Vì AD và BE là 2 đường trung tuyến của ΔABC cắt nhau tại G nên theo tính chất đường trung tuyến, ta có: AG = 23 AD.

Bài 38: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a. Tính số đo góc ABD.

b. Chứng minh ΔABC = ΔBAD

c. So sánh độ dài AM và BC.

Lời giải:

a. Xét ΔAMC và ΔBMD, ta có:

BM = MC (gt)

∠(AMB) = ∠(BMC) (đối đỉnh)

AM = MD (gt)

Suy ra: ΔAMC = ΔDMB (c.g.c)

⇒ ∠(MAC) = ∠D (2 góc tương ứng)

Suy ra: AC // BD

(vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Mà AB ⊥ AC (gt) nên AB ⊥ BD.

Vậy (ABD) = 90°.

b. Xét ΔABC và ΔBAD ta có:

AB cạnh chung

∠(BAC) = ∠(ABD) = 90°

AC = BD (vì ΔAMC = ΔDMB)

Suy ra: ΔABC = ΔBAD (c.g.c)

c. Ta có: ΔABC = ΔBAD ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)

Mặt khác: AM = 1/2 AD

Vậy AM = 1/2 BC.

Bài 39: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng ∠(BAC) = 90°

Lời giải:

Vì AM là đường trung tuyến của ΔABC nên BM = MC = 1/2 BC

Mà AM = 1/2 BC (gt) nên: AM = BM = MC.

Tam giác AMB có AM = MB nên ΔAMB cân tại M

Suy ra: ∠B = ∠A₁ (tính chất tam giác cân)    (1)

Tam giác AMC có AM = MC nên ΔAMC cân tại M

Suy ra: ∠C = ∠A₂ (tính chất tam giác cân)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠B + ∠C = ∠A₁ + ∠A₂ = ∠(BAC)    (3)

Trong ΔABC ta có:

∠B + ∠C + ∠(BAC) = 180° (tổng ba góc trong tam giác)    (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∠(BAC) + ∠(BAC) = 180° ⇔ 2∠(BAC) = 180°

Hay ∠(BAC) = 90°.

Vậy ΔABC vuông tại A.