Cho dãy số xác định bởi: trang 106 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao

Bài 2: Dãy số

Bài 12 (trang 106 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 1 và u_n = 2u_{n - 1} + 3 với mọi n ≥ 2

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có :

u_n = 2^{n + 1} - 3 (1)

Lời giải:

Với n=1 ta có u₁ = 1 = 2² - 3 . Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n-k tức là ta có: u_kn = 2^{k + 1} - 3

Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:

u_{k + 1} = 2^{k + 2} - 3

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có:

u_{k + 1} = 2u_k + 3 = 2(2^{k + 1} - 3) + 3 = 2^{k + 2} - 3

Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n ∈ N*.