Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

Luyện tập (trang 121)

Bài 43 (trang 122 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dẫy số (u_n) bởi:

u₁ = 1 và u_{n + 1} = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) với v_n = u_n +2 là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b) Dựa vào kết quả phần a). Hyax tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

Lời giải:

a) Từ hệ thức xác định dãy số(u_n) , suy ra với mọi n ≥ 1 ta có:

u_n+1 + 2 = 5(u_n + 2) hay v_n+1 = 5v_n

Do đó (v_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu v₁ = u₁ + 2 = 3 và công bội q = 5

Số hạng tổng quát: v_n = 3.5^{n - 1}

b) u_n = v_n - 2 = 3.5^{n - 1} - 2 với mọi n ≥ 1