Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau
Toán lớp 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) x3 - 3x2 + 5 = 0 ;
b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0 ;
c) 2x2 - x4 = -1
Lời giải:
a) Xét y = f(x) = x3 - 3x2 + 5 (1)
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
⇒ phương trình x3 - 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
b) Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1)
y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.
c) Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - x4
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2)
y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm
⇒ Phương trình f(x) = -2 có hai nghiệm phân biệt.
Kiến thức áp dụng
+ Số nghiệm của phương trình f(x) = m phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.