Cho hàm số Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m
Toán lớp 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài 6 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2).
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Lời giải:
a) Với mọi tham số m ta có :
Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Ta có:
⇒ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ Tiệm cận đứng đi qua A(-1 ; √2)
⇔
⇔ m = 2.
Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2)
c) Với m = 2 ta được hàm số:
- TXĐ: D = R \ {-1}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)
Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞)
+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
⇒ đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.
Lại có
⇒ đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục hoành tại (1/2 ; 0).
+ Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; -1/2).
+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.
Kiến thức áp dụng
+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định thì :
f(x) đồng biến nếu f’(x) > 0 với ∀ x ∈ K.
+ Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu có hoặc