Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x3 + 3x + 1
Toán lớp 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài 5 (trang 44 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = -x3 + 3x + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:
x3 - 3x + m = 0
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -3x2 + 3 = -3(x2 - 1)
y' = 0 ⇔ -3(x2 - 1) = 0 ⇔ x = ±1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; yCT = -1.
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ = 3.
- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 1).
+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2;-1).
b) Ta có: x3 - 3x + m = 0 (*)
⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1
Số nghiệm của phương trình (*) phụ thuộc số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 1 và đường thẳng y = m + 1.
Kết hợp với quan sát đồ thị hàm số ta có :
+ Nếu m + 1 < –1 ⇔ m < –2
⇒ (C ) cắt (d) tại 1 điểm.
⇒ phương trình (*) có 1 nghiệm.
+ Nếu m + 1 = –1 ⇔ m = –2
⇒ (C ) cắt (d) tại 2 điểm
⇒ phương trình (*) có 2 nghiệm.
+ Nếu –1 < m + 1 < 3 ⇔ –2 < m < 2
⇒ (C ) cắt (d) tại 3 điểm.
⇒ phương trình (*) có 3 nghiệm.
+ Nếu m + 1 = 3 ⇔ m = 2
⇒ (C ) cắt (d) tại 2 điểm.
⇒ phương trình (*) có hai nghiệm.
+ Nếu m + 1 > 3 ⇔ m > 2
⇒ (C ) cắt (d) tại 1 điểm
⇒ phương trình (*) có một nghiệm.
Kết luận : + Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.
+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.
+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.
Kiến thức áp dụng
- Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:
1, Tìm tập xác định.
2, Khảo sát sự biến thiên
+ Tính y’
⇒ Chiều biến thiên của hàm số.
+ Tìm cực trị.
+ Tính các giới hạn
Từ đó suy ra Bảng biến thiên.
3, Vẽ đồ thị hàm số.
- Số nghiệm của phương trình f(x) = m phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.