Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn vectơ AD = 1/3 vectơ AB, vectơ AE = 2/5 vectơ AC, vectơ AM = 1/3 vectơ BC
Giải sách bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ
Bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn →AD=13→AB , →AE=25→AC , →BM=13→BC , →AN=k→AM với k là số thực. Đặt →a=→AB , →b=→AC . Biểu thị các vectơ →AN , →DE , →EN theo các vectơ →a=→AB , →b=→AC và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.
Lời giải
Ta có:→AN=k→AM=k.(→AB+→BM)=k.(→AB+13→BC)
=k.(→AB+13(→AC−→AB))
= k.(23→AB+13→AC) = k.(23→a+13→b) .
→DE=→AE−→AD=25→AC−13→AB=−13→AB+25→AC
=−13→a+25→b
→EN=→AN−→AE=k.(23→AB+13→AC)−25→AC
=2k3→AB+(k3−25)→AC
=2k3→a+(k3−25)→b
Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho →EN=t→DN
⇔ 2k3→a+(k3−25)→b=t(−13→a+25→b)
⇔ 2k3→a+(k3−25)→b=−t3→a+2t5→b
⇔ {2k3=−t3k3−25=2t5 ⇔ {k=617t=−1217
Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = 617 .
Vậy →AN=k.[23→a+13→b], →DE=−13→a+25→b, →EN=2k3→a+(k3−25)→b và với k = 617 thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.
