Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn vectơ AD = 1/3 vectơ AB, vectơ AE = 2/5 vectơ AC, vectơ AM = 1/3 vectơ BC

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}$  với k là số thực. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$  , $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ . Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AN}$ , $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{EN}$  theo các vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$  và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải

Ta có:$\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}=k.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)=k.\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)$

$=k.\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\right)$

= $k.\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)$  = $k.\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)$ .

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AE}=k.\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{2k}{3}\overrightarrow{AB}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{AC}$

$=\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\overrightarrow{EN}=t\overrightarrow{DN}$

⇔  $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=t\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}\right)$

⇔  $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=-\frac{t}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2t}{5}\overrightarrow{b}$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2k}{3}=-\frac{t}{3}\\ \frac{k}{3}-\frac{2}{5}=\frac{2t}{5}\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{6}{17}\\ t=-\frac{12}{17}\end{array}\right.$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$ .

Vậy $\overrightarrow{AN}=k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right]$, $\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{EN}=\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.