Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 56 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn $\frac{\text{AA}\text{'}}{AB}=\frac{BB\text{'}}{BC}=\frac{CC\text{'}}{CA}$ . Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Đặt $\frac{\text{AA}\text{'}}{AB}=\frac{BB\text{'}}{BC}=\frac{CC\text{'}}{CA}=t$  (t > 0)

$\iff \left\{\begin{array}{l}AA\text{'}=tAB\\ BB\text{'}=tBC\\ CC\text{'}=tCA\end{array}\right.$

⇒  $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AA\text{'}}=t\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{BB\text{'}}=t\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{CC\text{'}}=t\overrightarrow{CA}\end{array}\right.$ (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=t\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

⇔ $\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC\text{'}}=t\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)$

⇔ $\left(\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+\left(\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)=t.\overrightarrow{AA}$

⇔ $-\left(\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)=t.\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác A’B’C’.