Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh ( vectơ AB) . ( vectơ CD ) + ( vectơ Ac) . ( vectơ DB ) + ( vectơ AD) . ( vectơ BC ) = vectơ 0

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AD}.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

$$\begin{gathered} =\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}\right)+\left(-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\right) \\ +\left(-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}\right) \end{gathered}$$

= 0