Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{MA}$ và

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}.$

c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$ Tính độ dài đoạn MP.

Lời giải:

a) Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{MAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$

Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.

Do đó $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{BA}\right)=\widehat{xAy}=\widehat{BAM}=30°$

$\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{xAC}=180°-\widehat{MAC}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{AC}\right)=180°-30°=150°$

Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:

b) • Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB\text{}}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB\text{}}+\overrightarrow{AC}\right)$

• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN

$\Rightarrow \overrightarrow{AB\text{}}+\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}$$\Rightarrow \overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB\text{}}$

Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$$=\frac{1}{2}.\left(2A{C}^2-A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}.\left({2.1}^2-1^2+\frac{1}{2}\right)$

$=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}.$

Vậy $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}$

c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN $\Rightarrow AP=\frac{3}{4}AN$

$\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}.\left(2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB\text{}}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB\text{}}$

• Ta có: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$

$=\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB\text{}}\right)-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB\text{}}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB\text{}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB\text{}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$=\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)-\left(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB\text{}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB\text{}}\right)$

$=\overrightarrow{AC}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AB\text{}}$

$\Rightarrow M{P}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AB\text{}}\right)}^2$

$={\overrightarrow{AC}}^2-2.\frac{5}{4}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{25}{16}{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{C}^2+\frac{25}{16}A{B}^2-\frac{5}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=1^2+\frac{25}{16}{.1}^2-\frac{5}{2}.\frac{1}{2}$

$=\frac{21}{16}$

$\Rightarrow MP=\sqrt{\frac{21}{16}}=\frac{\sqrt{21}}{4}.$

Vậy $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB\text{}};$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AC}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AB\text{}}$ và $MP=\frac{\sqrt{21}}{4}.$