Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1


Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1,

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC=2. Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Vì AB AD nên aba.b=0

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

AC=AB+AD=a+b (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên AM=12AD=12b

Suy ra BM=AMAB=12ba

Khi đó AC.BM=a+b.12ba

=12a.ba.a+12b.ba.b

=120a2+12b20 (do a.b=0)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Do đó AC.BM=0ACBM

AC BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 1 + 22 = 3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB2 = AH.ACAH=AB2AC=123=33

AHAC=33:3=13

AH=13AC

Khi đó HC=23ACHA=13AC

Ta có NB=NA+AB (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên NA=12HA

NB=12.13AC+AB

=16.a+b+a

=56a16b

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

AD+HC=2NPNP=12AD+HC

NP=12AD+12HC

=12AD+12.23AC

=12b+13.a+b

=13a+56.b

Khi đó NB.NP=56a16b.13a+56.b

=518a2+2536a.b118a.b536b2

=518a2+2536a.b118a.b536b2

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

=518.12536.22

=518536.2=0

Do đó NB.NP=0NBNP

NBNP.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: