Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1,
Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ
Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC=√2. Gọi M là trung điểm của AD.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.
b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.
Lời giải:
Vì AB ⊥ AD nên →a⊥→b⇔→a.→b=→0
ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:
→AC=→AB+→AD=→a+→b (quy tắc hình bình hành)
M là trung điểm của AD nên →AM=12→AD=12→b
Suy ra →BM=→AM−→AB=12→b−→a
Khi đó →AC.→BM=(→a+→b).(12→b−→a)
=12→a.→b−→a.→a+12→b.→b−→a.→b
=12→0−→a2+12→b2−→0 (do →a.→b=→0)
Do đó →AC.→BM=0⇔→AC⊥→BM
⇒ AC ⊥ BM.
b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 1 + (√2)2 = 3
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB2 = AH.AC⇒AH=AB2AC=12√3=√33
⇒AHAC=√33:√3=13
⇒→AH=13→AC
Khi đó →HC=23→AC và →HA=−13→AC
Ta có →NB=→NA+→AB (quy tắc ba điiểm)
Vì N là trung điểm của AH nên →NA=12→HA
⇒→NB=12.(−13→AC)+→AB
=−16.(→a+→b)+→a
=56→a−16→b
• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:
→AD+→HC=2→NP⇒→NP=12(→AD+→HC)
⇒→NP=12→AD+12→HC
=12→AD+12.23→AC
=12→b+13.(→a+→b)
=13→a+56.→b
Khi đó →NB.→NP=(56→a−16→b).(13→a+56.→b)
=518→a2+2536→a.→b−118→a.→b−536→b2
=518→a2+2536→a.→b−118→a.→b−536→b2
=518.12−536.(√2)2
=518−536.2=0
Do đó →NB.→NP=0⇒→NB⊥→NP
⇒NB⊥NP.