Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1,

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $B C = \sqrt{2} .$ Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Vì AB ⊥ AD nên $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{b}$

Suy ra $\vec{B M} = \vec{A M} - \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}$

Khi đó $\vec{A C} . \vec{B M} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a})$

$= \frac{1}{2} \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b}$

$= \frac{1}{2} \vec{0} - {\vec{a}}^{2} + \frac{1}{2} {\vec{b}}^{2} - \vec{0}$ (do $\vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$ )

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Do đó $\vec{A C} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B M}$

$\Rightarrow$ AC ⊥ BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 1 + ${(\sqrt{2})}^{2}$ = 3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = AH.AC $\Rightarrow A H = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{1^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3} : \sqrt{3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \vec{A H} = \frac{1}{3} \vec{A C}$

Khi đó $\vec{H C} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H A} = - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Ta có $\vec{N B} = \vec{N A} + \vec{A B}$ (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên $\vec{N A} = \frac{1}{2} \vec{H A}$

$\Rightarrow \vec{N B} = \frac{1}{2} . (- \frac{1}{3} \vec{A C}) + \vec{A B}$

$= - \frac{1}{6} . (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a}$

$= \frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

$\vec{A D} + \vec{H C} = 2 \vec{N P}$ $\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{H C})$

$\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{H C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} . \frac{2}{3} \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} . (\vec{a} + \vec{b})$

$= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b}$

Khi đó $\vec{N B} . \vec{N P} = (\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}) . (\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b})$

$= \frac{5}{18} {\vec{a}}^{2} + \frac{25}{36} \vec{a} . \vec{b} - \frac{1}{18} \vec{a} . \vec{b} - \frac{5}{36} {\vec{b}}^{2}$

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

$= \frac{5}{18} {.1}^{2} - \frac{5}{36} . {(\sqrt{2})}^{2}$

$= \frac{5}{18} - \frac{5}{36} .2 = 0$

Do đó $\vec{N B} . \vec{N P} = 0 \Rightarrow \vec{N B} ⊥ \vec{N P}$

$\Rightarrow N B ⊥ N P .$