Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC hay $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; 1), B(4; 3) và C(x; 0) ta có:

$\vec{A B} = (2; 2)$ và $\vec{A C} = (x - 2; - 1)$

Khi đó $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ $\Leftrightarrow$ 2(x – 2) + 2(–1) = 0

$\Leftrightarrow$ 2x – 4 – 2 = 0

$\Leftrightarrow$ 2x = 6

$\Leftrightarrow$ x = 3

Vậy C(3; 0).

$\Rightarrow \vec{A C} = (1; - 1)$

Ta có:

• $\vec{A B} = (2; 2) \Rightarrow A B = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

• $\vec{A C} = (1; - 1) \Rightarrow A C = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$

• $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{10}$ (theo định lí Pythagore)

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = $2 \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{10} = 3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ (đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác ABC là:

$\frac{1}{2} . A B . A C = \frac{1}{2} .2 \sqrt{2} . \sqrt{2} = 2$ (đơn vị diện tích)

b) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB ⊥ AD và AB = AD

• Với AB ⊥ AD ta có $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$

Mà $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ (theo câu a)

Nên $\vec{A D}$ cùng phương với $\vec{A C}$

Gọi D(a; b) là tọa độ điểm D cần tìm.

$\Rightarrow \vec{A D} = (a - 2; b - 1)$

Mà $\vec{A C} = (1; - 1)$

Do đó $\vec{A D}$ cùng phương với $\vec{A C}$ khi và chỉ khi:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)

• Với AB = AD ta có AB² = AD²

$\Leftrightarrow {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow$ 8 = (a – 2)² + (2 – a)² (do b – 1 = 2 – a)

$\Leftrightarrow$ 8 = 2.(a – 2)²

$\Leftrightarrow$ (a – 2)² = 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)

Với a = 4 thì b – 1 = 2 – 4 $\Rightarrow$ b = –1 ta có điểm D₁(4; –1).

Với a = 0 thì b – 1 = 2 – 0 $\Rightarrow$ b = 3 ta có điểm D₂(0; 3).

Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề bài là D₁(4; –1) và D₂(0; 3).