Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.

b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ của I.

Lời giải:

a) Với A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(4;3\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$

Vì $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\ne \frac{3}{-3}=-1$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{1}{3};2\right)$ .

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1) và H(x; y) ta có:

• $\overrightarrow{AH}=\left(x+3;y-2\right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left(2;-6\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\left(x+3\right).2+\left(y-2\right).\left(-6\right)=0$

$\Rightarrow$ 2x – 6y = –18

$\Rightarrow$ x – 3y = –9 (1)

• $\overrightarrow{BH}=\left(x-1;y-5\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=\left(x-1\right).6+\left(y-5\right).\left(-3\right)=0$

$\Rightarrow$ 6x – 3y = –9 (2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có:

5x = 0 $\Rightarrow$ x = 0

$\Rightarrow$ y = 3

$\Rightarrow$ H(0; 3)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H(0; 3)

c) Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

$\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$ với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1), H(0; 3) và I(a; b) ta có:

• $\overrightarrow{AH}=\left(3;1\right)$

$\Rightarrow$ M(2; 2)

$\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left(2-a;2-b\right)$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IM}=\left(4-2a;4-2b\right)$

Ta có $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right).$