Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.

b) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Vì C cách đều A và B nên CA = CB

$\Leftrightarrow$ AC² = BC²

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành

Với A(1; 1); B(7; 5) và C(x; 0) ta có:

• $\vec{A C} = (x - 1; - 1)$ $\Rightarrow$ AC² = (x – 1)² + (–1)²

$\Rightarrow$ AC² = x² – 2x + 2

• $\vec{B C} = (x - 7; - 5)$ $\Rightarrow$ BC² = (x – 7)² + (–5)²

$\Rightarrow$ BC² = x² – 14x + 74

Do đó AC² = BC²

$\Leftrightarrow$ x² – 2x + 2 = x² – 14x + 74

$\Leftrightarrow$ 12x = 72

$\Leftrightarrow$ x = 6

Vậy C(6; 0).

b) Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó $\vec{D A} + \vec{D B} = 2 \vec{D M}$

Do đó để vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất thì vectơ $2 \vec{D M}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow$ DM có độ dài ngắn nhất

Hay DM² nhỏ nhất.

Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung

Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

$\Rightarrow$ M(4; 3)

$\Rightarrow \vec{D M} = (4; 3 - y)$

$\Rightarrow$ DM² = 4² + (3 – y)²

Hay DM² = (y – 3)² + 16

Vì (y – 3)² ≥ 0 với mọi y

Nên (y – 3)² + 16 ≥ 16 với mọi y

Hay DM²≥ 16 với mọi y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 Û y = 3.

Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)

Vậy D(0; 3) thì vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất.