Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)


Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.

b) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ DA+DB có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Vì C cách đều A và B nên CA = CB

AC2 = BC2

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành

Với A(1; 1); B(7; 5) và C(x; 0) ta có:

AC=x1;1 AC2 = (x – 1)2 + (–1)2

AC2 = x2 – 2x + 2

BC=x7;5 BC2 = (x – 7)2 + (–5)2

BC2 = x2 – 14x + 74

Do đó AC2 = BC2

x2 – 2x + 2 = x2 – 14x + 74

12x = 72

x = 6

Vậy C(6; 0).

b) Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó DA+DB=2DM

Do đó để vectơ DA+DB có độ dài ngắn nhất thì vectơ 2DM có độ dài ngắn nhất

DM có độ dài ngắn nhất

Hay DM2 nhỏ nhất.

Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung

Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

M(4; 3)

DM=4;3y

DM2 = 42 + (3 – y)2

Hay DM2 = (y – 3)2 + 16

Vì (y – 3)2 ≥ 0 với mọi y

Nên (y – 3)2 + 16 ≥ 16 với mọi y

Hay DM2 ≥ 16 với mọi y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 Û y = 3.

Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)

Vậy D(0; 3) thì vectơ DA+DB có độ dài ngắn nhất.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: