Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức


Với Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 71.

Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.66 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng AB.CD+BC.AD+CA.BD=0.

Lời giải:

Ta có:

AD=AB+BC+CD

CA=BABC=ABBC

BD=BC+CD

Suy ra: AB.CD+BC.AD+CA.BD

=AB.CD+BC.AB+BC+CD+ABBC.BC+CD

=AB.CD+BC.AB+BC2+BC.CDAB.BCAB.CDBC2BC.CD

= 0.

Vậy AB.CD+BC.AD+CA.BD=0.

Bài 4.67 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ a = (1; 2), b= (3; –4), c = (–5; 3).

a) Tính các tích vô hướng a.b,b.c,c.a.

b) Tìm góc giữa hai vectơ ab+c.

Lời giải:

a) Với a= (1; 2), b = (3; –4) và c = (–5; 3) ta có:

a.b = 1.3 + 2.(–4) = 3 – 8 = –5;

b.c = 3.(–5) + (–4).3 = –15 – 12 = –27;

c.a = (–5).1 + 3.2 = –5 + 6 = 1.

b) Với a = (1; 2), b = (3; –4) và c= (–5; 3) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ

b+c = (–2; –1)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ

a.b+c = 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ

a,b+c143°7'48''

Vậy góc giữa hai vectơ ab+c khoảng 143°7'48''.

Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

AB = (3; 3) và AC = (7; –3)

3733=1 nên hai vectơ ABAC không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G43;1 .

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH BC và BH AC

Hay AH.BC=0BH.AC=0

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

x = 25

Thay x = 25 vào (1) ta được: 2.25 – 3y = –7

3y = 395

y = 135

H25;135.

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H25;135.

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có: AH=2IM

với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), H25;135 và I(a; b) ta có:

AH=125;85

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

M(3; 1)

IM = (3 – a; 1 – b)

2IM = (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có AH=2IM

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I95;15.

Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ FA+FB+FC có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

BC = (–7; 6)

BD = (a – 5; –3)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: BCBD là hai vectơ cùng phương

a57=36

a57=12

2(a – 5) = 7

a – 5 = 72

a = 172

Vậy D172;0 là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

3 điểm A, E, B thẳng hàng

ABAE là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

AB = (3; 4)

AE = (b – 2; 1)

Khi đó ABAE là hai vectơ cùng phương

b23=14

b – 2 = 34

b = 114

Vậy E114;0 là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)

Để vectơ FA+FB+FC có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = 113

Vậy F0;113.

Bài 4.70 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Lời giải:

Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng

Trọng lực P của ô tô hợp với hướng chuyển dời MN một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực P được phân tích thành hai thành phần P1P2 nên ta có:

P=P1+P2

( P1 có phương vuông góc với mặt dốc, P2 có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy P1 không có tác dụng với chuyển dời MN của xe và P2 ngược hướng với MN.

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: