Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau trang 17 SBT Toán 11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác - Kết nối tri thức

Bài 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 + 3|cosx|;

b) y = $2 \sqrt{\sin x}$ + 1;

c) y = 3 cos² x + 4 cos2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi

|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi

cos x = 0 ⇔ x = $\frac{π}{2}$ + kπ (k ∈ ℤ).

b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ $\sqrt{\sin x}$ ≤ 1 nên 0 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ ≤ 2,

do đó 1 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay $x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).

c) Ta có y = 3 cos² x + 4 cos2x $= 3. \frac{1 + \cos 2 x}{2} + 4 \cos 2 x$ $= \frac{3}{2} + \frac{11}{2} \cos 2 x$ .

Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên $- \frac{11}{2} \leq \frac{11}{2} \cos 2 x \leq \frac{11}{2}$ ,

do đó $- 4 = \frac{3}{2} - \frac{11}{2} \leq \frac{3}{2} + \frac{11}{2} \cos 2 x \leq \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = 7$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi

cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi

cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = $\frac{π}{2}$ + kπ (k ∈ ℤ).

d) Ta có y = sin x + cos x = $\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ .

Vì $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$ , với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x + \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ hay $x = \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x + \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ hay $x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác hay khác: