Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm Một hình vuông mới được hình thành

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.29 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Lời giải:

Gọi u_n là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}$ nên u₁ = $2. \frac{1}{2} . {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{2^{2}}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $u_{2} = 2. \frac{1}{2} . {(\frac{a}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{2^{3}}$ .

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2}$ , suy ra $u_{3} = \frac{a^{2}}{2^{4}}$ .

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u_n) là cấp số nhân với $u_{1} = \frac{a^{2}}{2^{2}}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Với a = 16 cm thì u₁ = $\frac{16^{2}}{2^{2}}$ = 64 cm.

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là

$S_{5} = u_{1} \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 64. \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{5}}{1 - \frac{1}{2}}$ = 124 (cm²).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯