Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Kết nối tri thức

Bài 2.39 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là u₁; u₂; u₃; u₄; u₅ và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên q ≠ 0.

+ Nếu q = 1 thì u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅, do đó u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 5u₁ = 31.

Suy ra u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅= $\frac{31}{5}$ . Khi đó u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = ${(\frac{31}{5})}^{5} \neq 1 024$ . Vô lí.

Vậy q ≠ 1.

+ Với q ≠ {0; 1}. Khi đó u₂ = u₁q; u₃ = u₁q²; u₄ = u₁q³; u₅ = u₁q⁴.

Ta có u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = $u_{1}^{5} . q^{1 + 2 + 3 + 4} = u_{1}^{5} q^{10} = {(u_{1} q^{2})}^{5}$ = 1 024 = 4⁵. Suy ra u₁q² = 4.

Suy ra $u_{1} = \frac{4}{q^{2}}$ .

Lại có u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = S₅ = $\frac{u_{1} (1 - q^{5})}{1 - q} = \frac{\frac{4}{q^{2}} (1 - q^{5})}{1 - q} = 31$ .