Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?


Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Kết nối tri thức

Bài 2.39 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là u1; u2; u3; u4; u5 và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên q ≠ 0.

+ Nếu q = 1 thì u1 = u2 = u3 = u4 = u5, do đó u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 5u1 = 31.

Suy ra u1 = u2 = u3 = u4 = u5 = 315. Khi đó u1 . u2 . u3 . u4 . u5 = 31551024. Vô lí.

Vậy q ≠ 1.

+ Với q ≠ {0; 1}. Khi đó u2 = u1q; u3 = u1q2; u4 = u1q3; u5 = u1q4.

Ta có u1 . u2 . u3 . u4 . u5 = u15.q1+2+3+4=u15q10=u1q25 = 1 024 = 45. Suy ra u1q2 = 4. 

Suy ra u1=4q2.

Lại có u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = S5 = u11q51q=4q21q51q=31.

Suy ra 4(1 – q5) = 31q2(1 – q)

⇔ 4(1 – q)(1 + q + q2 + q3 + q4) – 31q2(1 – q) = 0

⇔ (1 – q) (4 + 4q + 4q2 + 4q3 + 4q4 – 31q2) = 0

⇔ (1 – q)(4q4 + 4q3 – 27q2 + 4q + 4) = 0

 Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

Vì q ≠ 1 nên ta loại trường hợp q = 1.

Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho q2 (do q ≠ 0) ta được

4q2+4q27+4q+4q2=0

4q2+8+4q2+4q+4q35=0

2q+2q2+22q+2q35=0 (**)

Đặt 2q+2q=t, khi đó (**) ⇔ t2 + 2t – 35 = 0 ⇔ t = – 7 hoặc t = 5.

+ Với t = – 7, ta có  Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

+ Với t = 5, ta có  Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).

Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: