Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng 1 4 9 16 25 36 49 64 81

Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Kết nối tri thức

Bài 2.47 trang 43 SBT Toán 11 Tập 1: Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ n của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.

Lời giải:

a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là n² ∀ n ≥ 1.

Tám số hạng đầu của cấp số cộng (u_n) được mô tả là

u₁ = 4 – 1 = 3; u₂ = 9 – 4 = 5; u₃ = 16 – 9 = 7; u₄ = 25 – 16 = 9;

u₅ = 36 – 25 = 11; u₆ = 49 – 36 = 13; u₇ = 64 – 49 = 15; u₈ = 81 – 64 = 17.

Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp, do đó số hạng thứ n của cấp số cộng này là hiệu của số hạng thứ n + 1 và số hạng thứ n của dãy các số chính phương nên

u_n = (n + 1)² – n² = 2n + 1 ∀ n ≥ 1.

Ta chứng minh được dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 2.

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30; 36, 42, 48,

u₁ = 1 + 27 – 2 . 8 = 12;

u₂ = 8 + 64 – 2 . 27 = 18;

u₃ = 27 + 125 – 2 . 64 = 24;

u₄ = 64 + 216 – 2 . 125 = 30;

u₅ = 125 + 343 – 2 . 216 = 36;

u₆ = 216 + 512 – 2 . 343 = 42;

u₇ = 343 + 729 – 2 . 512 = 48.

Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng này là

u_n = n³ + (n + 2)³ – 2(n + 1)³ = 6n + 6 ∀ n ≥ 1.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯