Cho dãy số (un) xác định bằng hệ thức truy hồi trang 34 SBT Toán 11

Cho dãy số (u) xác định bằng hệ thức truy hồi

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hồi

u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + (n + 1).

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng 1 + 2 + ... + n = $\frac{n (n + 1)}{2}$ . Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

c) Chứng minh rằng u_{n + 1} + u_n = (n + 1)², tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Lời giải:

a) Bảy số tam giác đầu là u₁ = 1; u₂ = u₁ + (1 + 1) = 1 + 2 = 3;

u₃ = u₂ + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u₄ = u₃ + (3 + 1) = 6 + 4 = 10;

u₅ = u₄ + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u₆ = u₅ + (5 + 1) = 15 + 6 = 21;

u₇ = u₆ + (6 + 1) = 21 + 7 = 28.

b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u₁ = 1, u₂ = 1 + 2, u₃ = 1 + 2 + 3, u₄ = 1 + 2 + 3 + 4, ...

Từ đó suy ra u_{n + 1} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)

$= \frac{n (n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{n (n + 1) + 2 (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

Vậy $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

c) Theo công thức ở câu b) ta có:

$u_{n + 1} + u_{n} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) ((n + 2) + n)}{2}$ $= \frac{(n + 1) .2 (n + 1)}{2} = {(n + 1)}^{2}$ .

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 5: Dãy số hay khác:

Sách bài tập Toán 11

Cho dãy số (un) xác định bằng hệ thức truy hồi trang 34 SBT Toán 11

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: