Vẽ đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln x trên cùng một hệ trục tọa độ

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 6 - Kết nối tri thức

Bài 6.56 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2:

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln x trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là nếu điểm M nằm trên một đồ thị thì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Lời giải:

a) Đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln x trên cùng một hệ trục tọa độ như hình sau:

b) Xét điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$  nằm trên đồ thị hàm số y = e^x.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$  và vuông góc với đường thẳng y = x có dạng: $y=-x+x_0+e^{x_0}$ .

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng y = x.

Khi đó $B\left(\frac{x_0+e^{x_0}}{2};\frac{x_0+e^{x_0}}{2}\right)$ .

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = x. Khi đó B là trung điểm của AA’.

Do đó: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}}{2}-{\mathrm{x}}_0\\ {\mathrm{y}}_{{}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}}{2}-{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}={\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}={\mathrm{x}}_0\end{array}\right.$.Vậy ${\mathrm{A}}^{\text{'}}\left({\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0};{\mathrm{x}}_0\right)$

Thay tọa độ điểm $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$  vào hàm số y = ln x, ta được $x_0={\mathrm{lne}}^{x_0}$  (luôn đúng),

Vậy $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$  thuộc đồ thị hàm số y = ln x.

Tương tự, nếu B(x₀; ln x₀) nằm trên đồ thị hàm số y = ln x thì ta cũng tìm được điểm B’ đối xứng với B qua đường thẳng y = x và điểm B’ thuộc đồ thị hàm số y = e^x.

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 6 Kết nối tri thức hay khác:

• Bài 6.41 trang 20 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a là số dương. Rút gọn biểu thức ....

• Bài 6.42 trang 20 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a là số dương khác 1. Giá trị của log a^3 của a^2 là ....

• Bài 6.43 trang 20 SBT Toán 11 Tập 2: Giá trị của biểu thức 4^(log căn 2 của 3 ) là ....

• Bài 6.44 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến? ....

• Bài 6.45 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến? ....

• Bài 6.46 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = (2/3)^x ....

• Bài 6.47 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = log0,5 của x nằm phía trên trục hoành? ....

• Bài 6.48 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của phương trình 8^(2x-1) = (1/4)^x là ....

• Bài 6.49 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của phương trình log2 [x(x – 1)] = 1 là ....

• Bài 6.50 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm của bất phương trình ....

• Bài 6.51 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm của bất phương trình log 2(x + 1) > 1 là ....

• Bài 6.52 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số y = ln (x^2 – 2mx + 1) có tập xác định là ℝ khi ....

• Bài 6.53 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức: ....

• Bài 6.54 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau: ....

• Bài 6.55 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau: ....

• Bài 6.57 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = log3 của (2x + 1) – 2. ....

• Bài 6.58 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 4% thì chi phí C ....

• Bài 6.59 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ ....

• Bài 6.60 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Cent âm nhạc là một đơn vị trong thang lôgarit của cao độ ....