Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là

Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là:

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài 5 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là:

(S): (x – 24)² + (y – 24)² + (z – 24)² = 100 (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là d: $\frac{x - 24}{1} = \frac{y - 24}{1} = \frac{z - 24}{3,25}$

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (S).

b) Tính số đo góc giữa d và trục Oz. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.

Lời giải:

a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{cases} x = 24 + t \\ y = 24 + t \\ z = 24 + 3,25 t . \end{cases}$

Xét điểm M(24 + t; 24 + t; 24 + 3,25t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu (S), ta được:

(24 + t – 24)² + (24 + t – 24)² + (24 + 3,25t – 24)² = 100 ⇔ t = $\pm \frac{40 \sqrt{201}}{201}$

Vậy d cắt (S) tại hai điểm $M (24 + \frac{40 \sqrt{201}}{201}; 24 + \frac{40 \sqrt{201}}{201}; 24 + \frac{130 \sqrt{201}}{201})$ hoặc $M^{'} (24 - \frac{40 \sqrt{201}}{201}; 24 - \frac{40 \sqrt{201}}{201}; 24 - \frac{130 \sqrt{201}}{201})$

b) Vectơ chỉ phương của d và trục Oz lần lượt là $\vec{a} = (1; 1; 3,25), \vec{k} = (0; 0; 1)$

Ta có: cos(d; Oz) = $\frac{|\vec{a} . \vec{k}|}{|\vec{a}| . |\vec{k}|} = \frac{|3,25|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {3,25}^{2}} . \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \approx 0,917$

Suy ra (d, Oz) ≈ 23,5°.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯