Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 6 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính góc α giữa hai đường thẳng SD và BC;

b) Tính góc β giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Ta có: S(0; 0; 6), A(2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C(−2; 4; 0), D(2; 4; 0).

a) Ta có: $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right),\overrightarrow{BC}=\left(0;4;0\right)$

Suy ra cosα = $\frac{\left|\overrightarrow{SD}.\overrightarrow{BC}\right|}{\left|\overrightarrow{SD}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{\left|2.0+4.4-6.0\right|}{\sqrt{2^2+4^2+{\left(-6\right)}^2}.\sqrt{0^2+4^2+0^2}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$ ⇒ α ≈ 57,7°.

b) Mặt phẳng (SAD) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right)$, $\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-6\right)$

Ta có: $\left[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{SA}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& -6\\ 0& -6\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-6& 2\\ -6& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 0\end{array}\right|\right)$ = (−24; 0; −8) = −8(3; 0; 1).

Vậy $\overrightarrow{n}=\left(3;0;1\right)$ là vectơ pháp tuyến của (SAD).

Mặt phẳng (SCD) có cặp vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{DC}=\left(-4;0;0\right)$, $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right)$

Ta có: $\left[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{DC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& -6\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-6& 2\\ 0& -4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ -4& 0\end{array}\right|\right)$ = (0; 24; 16) = 8(0; 3; 2).

Vậy $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(0;3;2\right)$

Suy ra cosβ = $\frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\text{'}}}}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|3.0+0.3+1.2\right|}{\sqrt{3^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+3^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{130}}$  ⇒ β ≈ 79,9°.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

• Bài 1 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=7+5t\\ y=3+11t\\ z=9-6t\end{array}\right.$. Tìm một điểm trên d và một vectơ chỉ phương của d. ....

• Bài 2 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 3 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 4 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Xét phương trình tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 5 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc α trong mỗi trường hợp sau: α là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(5;2;7\right)$; ....

• Bài 7 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz ....