Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ Oxyz gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Bài 2.30 trang 54 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ Oxyz gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác B'CD'.

c) Chứng minh rằng ba điểm O, G, A thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có: C'(0; 0; 0), D'(0; 1; 0), B'(1; 0; 0); C(0; 0; 1); D(0; 1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$ = (0; 0; −1).

Gọi B(x; y; z), ta có: $\left\{\begin{array}{l}1-x=0\\ 0-y=0\\ 0-z=-1\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\\ z=1\end{array}\right.$.

Vậy B(1; 0; 1).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ⇒ A(1; 1; 1).

          $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$⇒ A' (1; 1; 0).

b) Gọi G(x_G; y_G; z_G), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1+0+0}{3}=\frac{1}{3}\\ y_G=\frac{0+1+0}{3}=\frac{1}{3}\\ z_G=\frac{0+0+1}{3}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$.

Vậy G$\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

c) Ta có: $\overrightarrow{OG}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$, $\overrightarrow{OA}=(1;1;1).$

Có $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ nên ba điểm O, G, A thẳng hàng.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay khác:

• Bài 2.25 trang 54 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (3; 0; 4), $\overrightarrow{b}$ = (2; 7; 7) và $\overrightarrow{c}$ = (2; 7; 2). ....

• Bài 2.26 trang 54 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (m; 3; 6) và $\overrightarrow{b}$ = (1; 2; 3) ....

• Bài 2.27 trang 54 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 3; −3), B(2; 0; 5), C(6; 9; −5) ....

• Bài 2.28 trang 54 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức ....

• Bài 2.29 trang 54 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(3; 5; 2), B(0; 6; 2) và C(2; 3; 6) ....

• Bài 2.31 trang 55 SBT Toán 12 Tập 1: Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao ....

• Bài 2.32 trang 55 SBT Toán 12 Tập 1: Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau ....