Tính các tích phân sau: tích phân từ 0 đến pi/2 của (3cosx + 2sinx)dx

Tính các tích phân sau:

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 12: Tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.15 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left(3\cos \mathrm{x}+2\sin \mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}-\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left(3\cos \mathrm{x}+2\sin \mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}3\cos \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}2\sin \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                        = ${\left.3\sin \mathrm{x}\right|}_0^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}-{\left.2\cos \mathrm{x}\right|}_0^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}$

                                        = $3\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}-3\sin 0-2\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\cos 0$

                                        = 5.

b) $\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}-\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = ${\left.\tan \mathrm{x}\right|}_{{}_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}}^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}}-{\left.\cot \mathrm{x}\right|}_{{}_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}}^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}}$

                                       = $\tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}-\tan \frac{\mathrm{\pi }}{6}-\cot \frac{\mathrm{\pi }}{4}+\cot \frac{\mathrm{\pi }}{6}$

                                       = 2 − $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 12: Tích phân hay khác:

• Bài 4.11 trang 12 SBT Toán 12 Tập 2: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.12 trang 12 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=6$ và $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2$. Hãy tính: a) $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left[2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+3\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.13 trang 12 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau: a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(1-2\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\mathrm{x}-2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.14 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau: a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.16 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau: a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3^{\mathrm{x}}-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1\right)}^2}{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.17 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hóa bởi P'(x) = −0,0005x + 12,2 ....

• Bài 4.18 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm ....

• Bài 4.19 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong x năm ....

• Bài 4.20 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Vận tốc v của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho ....