Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm - Kết nối tri thức

Bài 4.9 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K và u(x), x ∈ J, là hàm số có đạo hàm liên tục, u(x) ∈ K với mọi x ∈ J. Tìm $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Áp dụng: Tìm $\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\mathrm{d}\mathrm{x}$ và $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

Ta có: F'(u) = f(u), với mọi u ∈ K.

${\left[\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]}^{\text{'}}$ = ${\mathrm{F}}^{\text{'}}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)$.u'(x) = $\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)$, với mọi x ∈ J.

Do đó, $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)$ + C.

Áp dụng:

$\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\frac{1}{2}\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\frac{1}{2}.\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^6}{6}+\mathrm{C}$

                      = $\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^6}{12}+\mathrm{C}$.

$\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}.\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\int \frac{1}{2\sqrt{2\mathrm{x}+1}}.{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\mathrm{C}.$

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 11: Nguyên hàm hay khác:

• Bài 4.1 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm hàm số y = f(x), biết f'(x) = $3\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}$ (x > 0) và f(1) = 1 ....

• Bài 4.2 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \frac{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\int \sqrt{\mathrm{x}}\left(7{\mathrm{x}}^2+6\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.3 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \left(3\mathrm{x}+4\right)\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\int \frac{{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.4 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{3^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\int \left({\mathrm{x}}^2+2^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.5 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int {\left(2^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\int {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.6 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \left(2\cos \mathrm{x}+\frac{3}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\int \left(3\sqrt{\mathrm{x}}-4\sin \mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.7 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \left(\mathrm{x}+{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\int {\left(2\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....

• Bài 4.8 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t ....

• Bài 4.10 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$; b) $\int \left(3+2{\sin }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ ....