Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28)

Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài 4.28 trang 62 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng AM = DN.

b) Trên hai cạnh AC và DF lấy hai điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{DEF}$. Chứng minh rằng: BP = EQ.

Lời giải:

a) Vì ∆ABC = ∆DEF nên

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{DEF}; \widehat{BAC}=\widehat{EDF}; \widehat{ACB}=\widehat{DFE}\\ AB=DE; BC=EF; AC=DF\end{array}\right.$ 

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}BC$ .

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{1}{2}EF$ .

Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:  

BM = EN (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\widehat{ABM}=\widehat{DEN}$ (do $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ chứng minh trên)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – g – c).

Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).

b) Vì BP là tia phân giác của góc $\widehat{ABP}$ nên $\widehat{ABP}$ = $\widehat{PBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$

Vì EQ là tia phân giác của góc $\widehat{DEF}$ nên $\widehat{DEQ}=\widehat{QEF}=\frac{\widehat{DEF}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}$  = $\widehat{DEF}$ nên $\widehat{PBC}$  = $\widehat{QEF}$.

Xét ∆PBC và ∆QEF ta có:  

BC = EF (chứng minh trên)

$\widehat{PBC}=\widehat{QEF}$ (chứng minh trên)

$\widehat{PCB}=\widehat{QFE}$ (do $\widehat{ACB}=\widehat{DFE}$ chứng minh trên)

Do đó, ∆PBC = ∆QEF (g – c – g)

Suy ra, BP = EQ (hai cạnh tương ứng).