Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài 4.30 trang 62 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Lời giải:

Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

OB = OD (giả thiết)

Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).

Suy ra AB = DC và $\widehat{BAO}=\widehat{OCD}$ hay $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).

Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (giả thiết)

Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).

Suy ra AD = BC và $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.

Do đó, AC = BD.

 Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:

AB = DC  (chứng minh trên)

AD: cạnh chung

BD = AC (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$.

Lại có: $\widehat{BAD}+\widehat{CDA}=180°$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Do đó: $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}=\frac{180°}{2}=90°$.

Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.