Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác
Bài 4.30 trang 62 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Lời giải:
Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:
OA = OC (giả thiết)
^AOB=^COD (hai góc đối đỉnh)
OB = OD (giả thiết)
Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).
Suy ra AB = DC và ^BAO=^OCD hay ^BAC=^ACD.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).
Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:
OA = OC (giả thiết)
^AOD=^BOC (hai góc đối đỉnh)
OD = OB (giả thiết)
Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).
Suy ra AD = BC và ^OAD=^OCB hay ^CAD=^ACB.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.
Do đó, AC = BD.
Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:
AB = DC (chứng minh trên)
AD: cạnh chung
BD = AC (chứng minh trên)
Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).
Suy ra ^BAD=^CDA.
Lại có: ^BAD+^CDA=180° (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)
Do đó: ^BAD=^CDA=180°2=90°.
Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
