Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng

Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD.

b) AD // BC.

Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng

Lời giải:

Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

a) Xét ∆ABC và ∆DCB có:

$\hat{B A C} = \hat{C D B} = 90 °$ (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ∆ABC = ∆DCB nên $\hat{A C B} = \hat{D B C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:

$\hat{O C B} + \hat{C B O} + \hat{B O C}$ = 180°.

Mà $\hat{O C B} = \hat{C B O}$ do $\hat{A C B} = \hat{D B C}$ nên $2 \hat{C B O} + \hat{B O C}$ = 180°

Suy ra $2 \hat{C B O}$ = 180° – $\hat{B O C}$

Do đó, $\hat{C B O} = \frac{180 ° - \hat{B O C}}{2}$ (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, $\hat{A D B} = \hat{D A C}$ .

Xét tam giác OAD có:

$\hat{O A D} + \hat{A D O} + \hat{A O D}$ = 180°.

Mà $\hat{O A D} = \hat{A D O}$ do $\hat{A D B} = \hat{D A C}$ nên $2 \hat{A D O} + \hat{A O D}$ = 180°

Suy ra $2 \hat{A D O}$ = 180° – $\hat{A O D}$

Do đó, $\hat{A D O} = \frac{180 ° - \hat{A O D}}{2}$ (2)

Mà $\hat{A O D} = \hat{B O C}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, $\hat{C B O} = \hat{A D O}$ hay $\hat{C B D} = \hat{A D B}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.