Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:
Giải SBT Toán 9 Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Cánh diều
Bài 17 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:
a) EB . EA = EI . EO;
b) AB2 = AC . AD.
Lời giải:
a) Xét ∆OCD có OC = OD nên ∆OCD cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI của tam giác cũng đồng thời là đường cao, hay
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B là tiếp điểm nên OB ⊥ AB. Suy ra
Xét ∆EOB và ∆EAI có:
và là góc chung
Do đó ∆EOB ᔕ ∆EAI (g.g)
Suy ra hay EB . EA = EI . EO.
b) Gọi R là bán kính đường tròn (O).
Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có: OA2 = OB2 + AB2
Suy ra AB2 = OA2 ‒ OB2 = OA2 ‒ R2.
Mặt khác, ta có: AC . AD = (AI ‒ CI)(AI + DI)
Mà CI = DI (do I là trung điểm của CD)
Suy ra: AC.AD = (AI ‒ CI)(AI + CI) = AI2 ‒ CI2
Xét ∆OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có: OA2 = OI2 + AI2
Suy ra AI2 = OA2 ‒ OI2.
Xét ∆OCI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có: OC2 = OI2 + CI2
Suy ra CI2 = OC2 ‒ OI2.
Do đó AC.AD = (OA2 ‒ OI2) ‒ (OC2 ‒ OI2)
= OA2 ‒ OI2 ‒ OC2 + OI2
= OA2 – OC2 = OA2 ‒ R2.
Do đó AB2 = AC. AD (vì cùng bằng OA2 ‒ R2).
Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay khác: