Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính, Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB
Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh:
Giải SBT Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn - Cánh diều
Bài 20 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh:
a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn;
b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó
Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC ⊥ AB tại I.
Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên
Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên
Từ (1), (2) và (3), suy ra
Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay
Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên hay
Suy ra mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.
Lại có BD ⊥ CD nên BD ⊥ OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)
Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn hay khác: