Bất phương trình mx^2 – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

Bất phương trình mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

A. $m\le \frac{1}{8}$;

Đáp án đúng là: D

+) Khi m = 0, ta có:

mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0

⇔ x + 1 < 0

⇔ x < –1

Do đó, m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

+) Khi m ≠ 0, ta có:

Xét tam thức: f(x) = mx² – (2m – 1)x + m + 1 có:

a = m,

∆ = [–(2m – 1)²] – 4.m.(m + 1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 4m = –8m + 1

Để mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi mx² – (2m – 1)x + m + 1 ≥ 0 với mọi số thực x

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ -8m+1\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ m\ge \frac{1}{8}\end{array}\right.\iff m\ge \frac{1}{8}$

Vậy khi $m\ge \frac{1}{8}$thì bất phương trình mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm.